У ПОТРАЗИ ЗА СВЕТИМ "ГРАЛОМ МАТЕМАТИКЕ" – порекло 3, 14159265… од библијских до савремених времена

Зашто су древни људи измишљали све суптилније и генијалније методе да би дошли до тачне вредности π? Људска радозналост.

Како проналазите свети грал математике?

Почињете са кругом, који је најлакши геометријски облик за цртање (само причврстите један крај канапа на место и заокрените други крај око њега, уписујући круг). Затим измерите обим круга и растојање преко његове најшире тачке (пречник). Подијелите обим са пречником - и добићете онај добро познат, али заувек застрашујући број, π или pi, који има вредност 3,14159265...

То је део мистике π: без обзира на величину круга, вредност остаје иста (оно што математичари називају константом). Нажалост, π је такође ирационалан, што значи да је немогуће у потпуности израчунати његову вредност; децимале се настављају заувек без редовног понављања.

Израчунавање вредности π је миленијумима била загонетка. Једна од најранијих подразумеваних вредности дата је у библијском одломку који описује изградњу огромног базена за Соломонов храм (1Цар 7:23). Овде се добија оквирна вредност π = 30 ÷ 10, или π = 3.

Занатлије храма су очигледно добили ове бројеве директним мерењем — можда помоћу ужета — и дошли су до једноставне апроксимације броја π. Више од хиљаду година раније, Сумери су развили математичку методу за мерење димензија кругова, методу уписаних једнакостраничних полигона (геометријски облик са три или више равних страница). Сумери су схватили да ће обим полигона уписаног у круг увек бити нешто мањи од обима круга. То им је омогућило да направе прилично тачно мерење закривљене линије, што је готово немогуће урадити са обичним мерним уређајима.

Према 4.000 година старој клинописној плочи откривеној 1936. год., Сумери су открили да је однос обима уписаног шестоугла и круга 3456/3600, што чини 216/225. Сумери су тако могли да измере било који круг (мерењем уписаног полигона и прилагођавањем). Затим би могли да измере пречник круга - једноставну равну линију - и поделе га на обим, дајући апроксимацију π. На овај начин, Сумери су открили да је π 3 23/216 (3,1065). То је много боље израчунавање π од библијске вредности. Зашто то није било познато Израелцима у време Соломона? То остаје тајна.

У древној египатској математичкој расправи познатој као Рајндов папирус (око 1650. пре. Хр), писар по имену Ахмес наводи да је одређено кружно поље ширине 9 јединица (то јест, пречника 9) имало површину од 64 јединице. Данас знамо односе између пречника, обима и површине круга: Површина је једнака пи помножено квадратом полупречника, или а = πр2. Мењајући ову једначину, налазимо да је pi једнако површини подељеној квадратом полупречника. Радијус поља је 4,5 (половина од девет); квадрат од 4,5 је 20,25; а 64 подељено са 20,25 је 3,16. Дакле, π = 3.16. Тако су неки савремени коментатори Ахмесу приписали заслуге за блиску апроксимацију π. Али да ли је наш староегипатски писар био свестан ове формуле? Готово сигурно не. Није знао да се приближава π, и не бих желео да му приписујем заслуге за то.

Наш следећи значајан играч је грчки филозоф Антифон. У касном 5.в. пре Хр., схватио је да ако се узастопни полигони уписују у круг, сваки ут удвостручујући број страна, разлика између периметра полигона и обима круга би се смањила према нули (замислите круг као многоугао са бесконачан број страна). Иако Антифон није израчунао pi користећи своју методу (колико знамо), његова идеја би била основа свих побољшања вредности pi до 17. в. хр. ере.

Два века касније, Архимед (287–212 пре Хр.) је уписао шестоугао у круг; затим је удвостручио странице док није имао 96-страни полигон уписан у круг. Истовремено, он је преписао сличан низ многоуглова изван круга. Овом методом је открио да је pi већи од 3,14084 и мањи од 3,14286 — што је изузетно блиска апроксимација стварне вредности (3,14159265). Архимед је био први математичар који је везао пи на овај начин, израчунавајући његову горњу и доњу границу. Стога би њему требало приписати заслуге за тражење вредности pi.

Скоро 2.000 година нико није побољшао Архимедов метод уписаних и надписаних полигона, иако су у прорачуну направљена побољшања. Александријски астроном Птоломеј из 2. в. хр. ере је нпр. користио Архимедов метод да би достигао вредност од 3,14167. А метод су независно измислили и индијски и кинески математичари. У 5.в. хр. ере, кинески математичар Цу Цхунг-Цхих и његов син Цу Кенг-Цхих су, користећи методу полигона, открили да pi пада између 3,1415926 и 3,1415927, што је довољно прецизно за већину намена чак и данас.

Израчунавање тачних тригонометријских табела у 16. в. учинило је архимедијански приступ много лакшим него раније. Француски правник и математичар аматер Франсоа Вијет (1540–1603) користио је тригонометрију да израчуна обим многоугла са 393 216 страна, одређујући pi негде између 3,1415926535 и 3,1415926537.

Али развој рачуна Исака Њутна је свео израчунавање pi на обичну стару аритметику. Године 1655. Џон Волис је објавио свој доказ бесконачног производа π÷2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7… А Џејмс Грегори је 1671. године пронашао бесконачан збир π ÷ 4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11… Ове формуле захтевају стотине корака да би дошле чак до првих неколико цифара π, али су показале изводљивост нове методе. У року од неколико година, Њутн је пронашао низ формула које су му брзо дале 16-цифрену експанзију броја π. Од тада је даље рачунање pi било само питање жеље и издржљивости.

Када је у питању издржљивост, ништа не може победити рачунар. Године 1949. примитивни компјутер ENIAC, први од џиновских мозгова, добио је алгоритам за израчунавање π. Три дана касније, стигао је одговор дугачак 2.037 цифара. Данас су доступни програми који вам омогућавају да израчунате милијарду цифара π на вашем рачунару.

Која је поента рачунања π толико далеко? Нема је. Када бисмо знали пречник универзума, првих 30 цифара броја π би нам теоретски омогућило да израчунамо његов обим са прецизношћу од једног милиметра. То је ближе него што би икада требало да дођемо, остало је само разметање.